4. 소수의 곱셉, (자연수)×(소수) 원리 알아보기(5학년 2학기)

소수의 곱셈

지난 시간까지 (소수) × (자연수) 의 원리를 알아보고 설명까지 완벽하게 하는 활동을 해보았습니다. 이번 시간에는 (자연수) × (소수)의 원리를 알아보는 시간을 가졌습니다.

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1. (자연수)×(소수) 원리 알아보기

칠판정리1

먼저 문제를 제시하고 문제를 해결하기 위한 식을 스스로 세워보도록 하였습니다. 그 후 문제를 해결하기 위한 방법을 생각하도록 하였습니다. 아이들은 그림, 수직선, 분수, 자연수로 해결하는 방법을 활용하기로 하였습니다. 각자 원하는 방법으로 문제를 해결해보고 자신이 할 수 있는 다른 방법으로도 문제를 해결하도록 하였습니다. 그리고 각 방법별로 한 아이씩 나와서 설명해보았습니다.

 

2. 그림으로 해결하기

그림으로 해결한 아이는 7을 1.5배 해야하니 1배와 0.5배를 나누어서 한다고 표현하고 7을 1배해서 7, 7을 0.5배해서 3.5를 구했습니다. 그리고 이를 더하여 10.5라고 하였습니다. 발표가 끝나면 설명을 들은 아이들이 질문을 하고 발표자가 답합니다. 아래 답은 아이들의 설명과 제 설명을 보태어 정리하였습니다.

​질문1) (설명할 때 무엇을 곱해야 하는지 설명하지 않았습니다.) 무엇이 1배와 0.5배를 해야 하는건가요?

• (곱해지는 수)가 7이기 때문에 7에 1배와 0.5배를 해야합니다.

​질문2) 1.5배를 하는데 왜 1배와 0.5배를 나누어서 했는지 그리고 왜 각각 구해서 더했는지 알려주세요.

• 저는 (곱하는 수)가 1.5라서 한꺼번에 하면 그림으로 표현하기 어려웠습니다. 그리고 단위도 자연수와 소수로 다르니 나누어서 계산하면 편리할 것 같아서 그랬습니다. 또 7×2를 7×1=7과 7×1=7로 나누어 구한다음 더해야 하듯이 7×1.5도 나누어 구해서 더하면 구하고자 하는 식의 답을 구할 수 있기 때문입니다.

칠판정리2

그리고 1.5배를 그림으로 표현할 때 하나를 반으로 표현한 느낌이 소수 그림 표현의 잘못된 인식을 할 수 있을 듯 해서 7×1.3을 그림으로 표현하는 방법을 아이들에게 물어보았습니다. ​아이들은 10개로 나눈 것 중에 3개라고 정확하게 이야기하며 이를 그림으로 표현하면 각각 똑같이 10개로 나눈 다음 그중 3개씩 합해 구할 수 있다고 하였습니다.

 

3. 수직선으로 해결하기

수직선으로 해결한 아이도 1.5배를 1배와 0.5배로 나누어서 구하였습니다. 7을 1배 먼저 가고 다음 7을 0.5배 가서 전체적으로 이동한게 10.5의 위치이기 때문에 10.5라고 하였습니다.

칠판정리3

 

4. 분수로 해결하기

분수로 해결한 아이는 7×1.5를 7/1×15/10의 분수 곱셈 형태로 바꾸어 분모는 분모끼리 곱하고, 분자는 분자끼리 곱하여 105/10를 구하였습니다. 이를 다시 수소로 나타내면 10.5로 구할 수 있습니다.

​질문) 단위를 같게하기 위해 자연수 7도 분모를 10으로 계산하면 결과가 어떻게 되나요?

• 7도 분모를 같게하면 70/10×15/10가 되는데 이를 해결하면 1050/100이 됩니다. 이를 소수로 표현하면 10.50이 되고 이는 10.5와 같기 때문에 결과는 변화가 없습니다.

 

5. 자연수로 해결하기

지난 시간에 배운 내용을 활용하여 자연수로 해결한 아이도 있습니다. ​이 아이는 자기 마음대로 (곱해지는 수)와 (곱하는 수)의 위치를 바꾸어 문제를 해결하였습니다. 일단 원래 식의 1.5에 10을 곱하여 문제를 해결해 답을 구했습니다. 바뀐 식의 답을 찾았으니 다시 원래 식의 답을 구하기 위해 10을 나누어 문제를 10.5를 구하였습니다.

​질문1) 왜 바뀐 식의 답을 구한 다음 10을 나누어주어야 하나요?(지난 시간의 핵심)

• 등호를 기준으로 좌항과 우항의 값은 같아야 하는데, 식을 바꾸면서 좌항에 10을 곱하였기 때문에 우항에도 10이 곱해진 값을 구했습니다. 따라서 원래 식으로 돌아갈 때 10을 나누어 주어야 원래식의 답을 구할 수 있기 때문입니다.

​이 질문을 해준 아이가 참 기특했습니다. 이 아이 덕분에 우리는 등호에 대해 다시 한 번 상기할 수 있었고, 더 명확하게 소수의 곱셈에서 10배하고 10배 나누는 원리를 잘 이해할 수 있었기 때문입니다.

​질문2) 왜 1.5에만 10을 곱해주나요? 7에도 10을 곱해주면 안되는가요?

• 10을 모두 곱해주어도 상관없습니다. 다만 어디에 곱해준지가 중요한데, 좌항인지 우항인지 확인을 해야합니다. 1.5와 7에 각각 10배씩 해주면 결국 좌항이 100배가 되었기 때문에 우항에 구한 답을 원래 식으로 돌릴 때 ÷100을 해주어야 한다는 점만 달라집니다.

​이 질문을 듣고 아이들의 수학 이해 수준이 높아졌구나 생각이 들었습니다. 아이들이 조금씩 정해진 틀에서 벗어나 진짜 수학을 체험하고 있음이 느껴졌습니다. 당연히 궁금해야 하는 것인데 사실 아무도 궁금해하지 않습니다. 배운 대로만 수학을 머리 속에 집어넣기 때문이라 생각합니다. 근대 조금씩 그 틀에서 벗어나려는 모습이 보여 너무 기특했습니다.

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6. 원리 발견하기

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(자연수) × (소수) 의 원리는 (소수) × (자연수) 원리와 같이 정리했습니다. 지금은 이해하기 쉽게 소수점의 위치에 맞게 내린다고 알아보고, (소수) × (소수) 원리에서 그 정확한 원리로 변경해서 이 원리들과 비교하며 고치려고 생각하고 있습니다.

​그리고 한 아이가 문제를 풀면서 교환 법칙처럼 (곱해지는 수)와 (곱하는 수)를 바꿔 풀었기 때문에 이에 대해 곱셈의 순서가 바뀌어도 결과는 같다는 것을 함께 확인하였습니다.

 

7. 학생 공책 정리

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