2. 약수와 배수, 공약수와 최대공약수 공식(5학년 1학기)

약수와 최대공약수 공식 구하는 방법 알아보기

지난 시간에는 공약수와 최대공약수의 개념을 알아보기 위해 두 수의 약수를 모두 구해 본 뒤 공약수와 최대공약수를 찾아보는 활동을 하였습니다. 대부분 공식으로 개념을 기억하는 경우가 많아 어렵게 생각하는 아이들이 많은데, 충분한 시간을 활용해 개념 중심으로 공약수와 최대공약수를 접하면 훨씬 큰 도움이 되리라 생각합니다. 이번에는 수가 커졌을 때 도움이 될 수 있는 공식으로 접근해보았습니다.

 

1. 최대공약수 구하는 방법

먼저 지난 시간에 배웠던 약수, 공약수, 최대공약수 개념을 다시 한 번 살펴보았습니다.

약수 : 어떤 수를 나누어 떨어지게 하는 수
공약수: 두 수의 공통된 약수
최대공약수: 공약수 중 가장 큰 수

그리고는 12와 18의 최대공약수를 구해보았습니다. 아이들에게 이를 해결해보도록 하니 공식으로 푸는 아이들도 몇몇 있었지만 대부분 지난 시간에 배웠던대로 각각의 약수를 구해서 공약수와 최대공약수를 구하였습니다.

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해결 뒤에는 자신의 방법을 짝과 이야기하면서 설명하도록 하였습니다. 공약수와 최대공약수가 무엇이고 어떤 방법으로 구했는지 말로 설명하도록 하였습니다. 그리고 궁금한 점이나 중요한 점을 질문하도록 하였습니다.

공약수와 최대공약수를 보며 최대공약수의 약수는 공약수가 됨을 한 번 더 확인하였습니다. (수) = (인수들의 곱)으로 이루어지는데 곱셈이 성립한다는 것은 인수들이 그 수의 약수로 이루어져있음을 뜻합니다. 하지만 두 수의 관계에서 어떤 약수는 공약수가 되는 경우도 있고 공약수가 안되는 경우도 있는데, 만약 최대공약수가 하나의 약수로 정해지면 나머지 약수는 반드시 공약수로 존재할 수 없음을 아이들과 이야기 나누었습니다. 

 

2. 최대공약수를 구하는 공식

더 나눌수 있는 경우에는 나눌 수 없을 때까지 나누어야 하는데, 이때 나누는 수는 공약수가 되고 더 이상 나눌 수 없을 때까지 구한 다음 그 공약수들의 곱이 최대공약수가 됨을 함께 확인하였습니다.

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나눗셈의 경우 위로 식을 적는데, 최대공약수를 구하는 식은 왜 아래로 적을까요?

아이들이 나름의 생각을 해서 각자의 생각을 이야기했고, 사실 정해져 있는 것은 아니고 편하게 계산하기 위한 약속일 뿐임을 확인하였습니다. 아래로 적는 것이 익숙하고 식을 아래쪽으로 작성하면 다음 식들이 아래로 배치되기 때문에 이렇게 약속해서 활용하고 있을 뿐임을 이야기하였습니다.

두 수를 함께 나눌 수 있는 수로 계속해서 나누어가는데, 더 이상 나눌 수 없을 때까지 나누도록 하였습니다. 수감각이 있는 아이들은 바로 최대공약수를 구할 수 있지만 아직 수감각이 부족한 아이들은 작은 수부터 나누도록 하였습니다. 2, 3, 5, 7, 11, 13의 순서로 나누다보면 더이상 나눌 수 없을 때까지 구할 수 있습니다.

두 수의 인수들을 보면 공통인 것들이 있는데 그것이 바로 공약수이고, 공통인 인수들을 모두 찾아 곱하면 그게 바로 최대공약수임을 예시를 보며 확인하였습니다. 그리고 최대공약수는 공약수들의 곱으로 이루어지는데, 이는 최대공약수의 약수들이 모두 공약수이기 때문임을 정리하였습니다.